2019年中考四川乐山第25题（三角形与相似、定值）——2019年中考压轴/好题/新题解析系列

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四川乐山第25题(三角形与相似、定值)

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（2019•乐山）在△ABC中，已知D是BC边的中点，G是△ABC的重心，过G点的直线分别交AB、AC于点E、F．

（1）如图1，当EF∥BC时，求证：BE/AE+CF/AF＝1；（2）如图2，当EF和BC不平行，且点E、F分别在线段AB、AC上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
详细分析如下：
题干在△ABC中，已知D是BC边的中点，G是△ABC的重心，过G点的直线分别交AB、AC于点E、F．【解读】如下图所示，根据重心性质，得DG/AG＝1/2.第一问
（1）如图1，当EF∥BC时，求证：BE/AE+CF/AF＝1；【图文解析】如下图示，由EF∥BC，得BE/AE＝CF/AF＝DG/AG＝1/2.所以BE/AE+CF/AF＝1. 第二问（2）如图2，当EF和BC不平行，且点E、F分别在线段AB、AC上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．图文解析】
利用平行——相似——比例.过点A作AN∥BC交EF的延长线于点N，FE、CB的延长线相交于点M，如下图.首先：其次：

（3）如图3，当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．【图文解析】
类似（2）的解法，如下图示：另：本题也可直接说明.当F点与C点重合时，E为AB中点，BE＝AE，点F在AC的延长线上时，如图，　　BE＞AE，得BE/AE＞1……【拓展】如图，△ABC中，点D是边BC的中点，连接AD，点G在AD上，且AG：DG＝3：1.过点G的直线分别交AB、AC于点E和F，判断BE：AE＋CF：AF是否为定值？若点F在边AC的延长线呢？（是否有类似的结论）.

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